矩阵变换那些事

2014-04-01 by fatboyzz in 码农 tags: c++ opengl math

view 矩阵

void gluLookAt (
    GLdouble    eyeX,
    GLdouble    eyeY,
    GLdouble    eyeZ,
    GLdouble    centerX,
    GLdouble    centerY,
    GLdouble    centerZ,
    Gldouble    upX,
    GLdouble    upY,
    GLdouble    upZ
);

这个函数可以生成 view 矩阵，作用相当于更换了基底。

opengl 默认基底 原点在视口中心，x 轴向右，y 向上，z 向屏幕外，相机处于原点，向 z 轴负半轴看去。

如果想要换一个角度看世界，就需要坐标变换。把基底变换到新的位置，让 z 轴的负半轴指向相机所看的方向。

声明一下，矩阵以列的方式看，顶点，向量都看成列矩阵（只有一列的矩阵）。

坐标变换就是换基底

基底，可以看成是矩阵的列向量。比如基底分别为 \(vx,vy,vz\) 坐标为 \(v_0(x_0,y_0,z_0)\) 的点可以表示为：

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_x}}&{{v_y}}&{{v_z}}\end{array}} \right){v_0} = {v_x}{x_0} + {v_y}{y_0} + {v_z}{z_0}$$

理解为 用坐标分量对基底进行线性组合。

设 \(I\) 为单位矩阵 则默认基底下坐标对应的值就是 \(Iv\) 。

现在如果想要换一套坐标，变成用矩阵 \(M\) 的列向量作为基底，并且还要使得最终计算出的点是向量空间中的同一个点则：

$$Iv = M(M^{ - 1}v)$$

把右边 \({M^{ - 1}}v\) 看成整体，它意味着，若要换 \(M\) 为基底，所有坐标都要左乘 \({M^{-1}}\)

复合换基底

gluLookAt 对基底做了两个变换。它先旋转了基底，使其 z 负半轴指向 center - eye ，然后位移到 eye 。

这相当于新的基底为 ：

$$M = TRI$$

理解为，将 \(I\) 按列（即基底）切开，每列做了 \(TR\) 变换后再合起来。

所以坐标变换需要的矩阵就是 \((TR)^{-1}\) 即 \(R^{-1}T^{-1}\)

gluLookAt 的实现

先通过规范化与叉乘，得到旋转后的基底。注意 :

  • \(F\) 为相机方向即基底 z 轴负半轴方向。
  • \(R\) 是正交矩阵 所以 \(R^T=R^{-1}\) 。

所以第三行添上负号。这就是 opengl 文档中的 \(M\)。

而 \(T\) 是位移矩阵，所以 \(T^{-1}\) 就是反方向位移。

这就是 opengl 文档中的 glTranslated(-eyex, -eyey, -eyez) 。

合起来就是 \(R^{-1}T^{-1}\) 。

(ps: opengl 文档 s = f x up' 缺少规范化)





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